摘要
光学系统中的相对照明是许多变量的函数，包括畸变，渐晕和光瞳像差。 它可以通过使用适当的坐标系，确定方向余弦空间中出射光瞳的大小来获得。 通常，通过跟踪穿过系统的光线束来完成计算。 在许多情况下，可以通过跟踪一根轴上光线和三根轴外光线来准确计算相对照度。
坐标系统
计算相对照度的关键是根据方向余弦定义出射空间中的限制光线。这些限制光线就是那些刚好穿过系统限制孔边缘的光线。 对于没有渐晕的系统，孔径光阑通常是限制表面。 但是，通常不同的光线将受到不同表面的限制。 对于有障碍物的系统，也必须考虑受障碍物限制的光线。
图1描述了方向余弦的定义。坐标系的原点在Q'处，z轴沿光轴方向。点Q'是主光线与像表面的交点。点E'是系统出瞳沿光轴的位置。建立一个参考球，其中心在Q'，并通过E'。任意一条光线与参考球相交于P'点。感兴趣的坐标是P'和q之间的线段的方向余弦(1,m,n)。注意，除非没有像差，否则这个线段不与光线重合。
图1 光瞳坐标
方向余弦必须在z轴平行于Q'处法线面的坐标系中定义。对于一个平坦的像表面，这与定义该表面的坐标系相同，z轴沿着光轴。如果图像表面不是平的，(1.m.n)必须旋转到表面法线的坐标系中。这是通过式(1)中的旋转矩阵完成的，其中(L,M,N)是沿曲面法向量在点Q'处的单位向量。
相对照度
我们假设对象上的光强度均匀，并且其行为类似于平面朗伯光源。 如果绘制由限制光线定义的出射光瞳形状，作为（1，m）的函数，我们将得到一个图形，该图形的面积与像表面的照度成比例。 这在图2中示出。因此，通过将离轴瞳孔区域除以轴上瞳孔区域来获得相对照明。 应该注意的是，这种方法自动考虑了视场大小的任何瞳孔大小变化，包括渐晕和图像失真的影响。 它对任何通用光学系统均有效，并且不限于旋转对称系统。
图二 沿余弦方向的出瞳
有效F数也可以从图2中获得。如果我们将出瞳孔周边与图中的m轴相交的点为ml和m2，则m方向上的有效F数为1 /（ m2-m1）。 可以在l方向上获得对应的数字。
余弦四次方定律
图3描绘了一个薄透镜作为光阑的出射空间，并显示了轴上光束和轴外光束的限制光线，其中主光线与光轴成角度U。 R是光瞳的半径，D是从光瞳到图像的距离，H是像高。 我们可以用代数方法定义子午方向和矢状方向的极限光线的方向余弦，并假设光瞳可以用椭圆表示，从而得到相对照度的表达式。如果我们现在取这个表达式并让R趋近于零(傍轴极限)，我们将发现相对照度RI为
RI=COS U ^4
这就是众所周知的余弦四次方定律，它与一个更简单的概念相一致，即一个余弦来自于光束与像的倾斜度，一个余弦来自于光束与光瞳的倾斜度，两个余弦来自于倒数距离的平方。这个定律更普遍地适用于出瞳相对于场的大小和位置恒定的平场系统。角度U是在像空间中测量的。此外，如果系统的光瞳在节点上，则物体空间的角度也为U。
这就是众所周知的余弦四次方定律，它与一个更简单的概念相一致，即一个余弦来自于光束与像的倾斜度，一个余弦来自于光束与光瞳的倾斜度，两个余弦来自于倒数距离的平方。这个定律更普遍地适用于出瞳相对于场的大小和位置恒定的平场系统。角度U是在像空间中测量的。此外，如果系统的光瞳在节点上，则物体空间的角度也为U。
结论
一般光学系统的相对照度可以通过在适当的场点追踪光束来计算。在许多情况下，没有必要做广泛的光线追踪，可以获取准确的结果，包括畸变，渐晕和光瞳像差的影响。
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