评价函数与操作数详解

摘要：本文详细介绍了ZEMAX中的评价函数和操作数，解释了评价函数是如何衡量光学系统与设计目标的匹配度的。同时，介绍了评价函数构成的默认方法以及评价函数编辑器中的辅助选项。对于需要进行光学系统设计和优化的人员，本文提供了有帮助的信息。

一、评价函数的方程表达

    Merit Function 评价函数，是光学系统如何与指定的设计目标相符的数字代表。评价函数值为0，表示当前光学系统完全满足设计目标要求。评价函数值愈小，表示愈接近。

    一般地，评价函数可定义为设计目标像差值与当前系统像差值之差的平方和，结合权因子构成。定义式可写成：      

    其中Vi是第i种操作符的实际值，Ti为第i种操作符的目标值，Wi为第i种操作符的权因子。这里的操作符是ZEMAX使用的可以代表“广义像差”的符号。式中除以表示评价函数中权因子被自动归一化。，该操作符被当作像差，ZEMAX设计让达到局部最小；，该操作符无作用；，则ZEMAX自动设置；此时，自动用代替，称之为LagrangianMultipliers(拉格朗日乘子)，一般对应透镜的边界条件。

    因此，评价函数由操作符以及相应的目标值、权因子构成。

二、评价函数的“默认”（缺省）构成方法

    评价函数的建立及构成元素的确定，是光学设计人员参与的重要内容之一，需要使用者确定由哪些像差构成评价函数中的元素，这里的像差，可以指独立几何像差、弥散图（点列图）、波像差、传递函数等，以及光学系统高斯数据如焦距、放大倍率、总长等等。因此评价函数的建立是光学设计初学者的难点之一，主要涉及（

1）选择哪些像差元素构成评价函数；

（2）每一个像差的元素权因子选择为多少？

     ZEMAX提供了便捷的评价函数建立方法，也提供了柔性的由设计者自由发挥的建立方法，前者称之为默认评价函数。

默认评价函数对话框共有四块内容。

A）Optimization FunctionReference

RMS：Root-Mean-Square的缩写，表示求出均方根偏差；

PTV：Peak-to-Valley，俗称峰谷值。

Wavefront：波像差，单位为：波长单位；

Spot X：像面上X方向的最大垂轴几何像差值；

Spot Y：像面上Y方向的最大垂轴几何像差值；

Spot X+Y：指像面上X, Y方向的最大弥散，考虑像差的符号。

Centroid：质心，一般指某一视场的质心，尤其适用于波像差构成的评价函数，此时可扣除波差数据中的常数项（Piston），X-Tilt与Y-Tilt。

Chief Ray：使用主波长时的主光线时的主光线作为计算基准，这是过去常被使用的计算基准。

Mean：平均值，仅适用于选取Wavefront来构造评价函数的场合，其与Centroid的差别，是仅从波差数据中扣除常数项（相当于Mean Wavefront），但不扣除X-Tilt和Y-Tilt。

B）Pupil Integration Method

Pupil Integration Method为光瞳细分方法，需要对光瞳（一般指入瞳）进行细分，与某一视场一起，产生充满光学系统入瞳的入射光线。

光瞳细分方法具有Gaussian Quadrature方法与Rectangular Array方法。

Gaussian Quadrature为高斯二次积分，简称GQ，用Rings×Arms来定义光线数目，高斯积分方法是诸多方法中需要计算光线数目少，但精度高的一种法，所以是ZEMAX中的首选方法。

Rectangular Array为矩形网格（RA），用Grid（4×4，6×6，8×8，……）形式确定光线数，计算速度慢且精度低。

C）Thickness Boundary Values

用于定义光学系统中玻璃或空气的最小与最大中心厚度，以及最小边缘厚度，其中玻璃最小与最大中心厚度要根据光学系统中元件的口径按经验或参考《光学设计手册》中关于透镜边缘及中心厚度给定。

完成定义后，要注意查看评价函数编辑器中当前光学系统参数的边界条件有无越界，尤其是空气间隙中像距跟普通透镜间隔边界要求不同，要注意区分。

D）其余辅助选项

“Assume Axial Symmetry”复选框，如果当前光学系统为旋转对称系统，则选之，此时仅追迹一半光瞳的光线。

“Ignore Lateral Color”复选框，缺省条件下，不予选中，表示ZEMAX计算所有的RMS或PTV时，相同视场不同波长的光线选用同一计算标准，即主波长光线或质心（Centroid）；如果选中，每一波长具有自己独立的计算基准，适用于设计分色棱镜或分光光谱光学系统。

“Start At”指评价函数编辑器中的操作符起始行序号，定义该序号的目的主要是防止覆盖原先定义好的操作符。

“Relative X Wgt”定义相对权重，仅当选用Spot X+Y时才起作用，定义点列图中X分量和Y分量之间的相对权重。如 >1，则X分量重要；<1，Y分量重要；＝1，同等重要。

完成以上选项，点中“OK”，则在“Merit Function Editor”中会出现多行的控制内容。下面再设置好光学系统的变量后，就可以进行优化设计了。

默认评价函数建立方法的特点是较为便捷，无须搞清楚具体操作符的含义，以及权因子究竟选多少合适。

因主要采用Wavefront和Spot Radius作为评价指标，所以该评价函数建立方法适用于像面面型固定的设计场合，如照相机镜头、平行光管物镜、波面变换物镜等。

三、修改成自定义评价函数法

在评价函数编辑器（MFE）中，用“Insert”或“Delete”键可增删，编辑评价函数，评价的编辑器是一种电子表格形式，每一行都是对一个操作符的描述，该电子表格的表头如下图所示：

Oper# Type Int 1 Int 2 Hx Hy Px Py Target Weight Value %Contrib

Oper#：操作符所处的位置序号；

Type：操作符名称，一般由四个大写英文字母组成，如EFFL，就是控制系统有效焦距的操作符；

Int1和Int2：正整数，用来定义操作符所需的参数；

Hx和Hy：归一化视场；

Px和Py：归一化光瞳直径；

Target：操作符目标值；

Weight：操作符的权因子；

Value：ZEMAX自动计算出的该操作符的实际值；

％Contrib：ZEMAX自动据操作符的目标值与实际值偏差及权因子计算在整个评价函数中的贡献量，贡献量最大值为100，最小值为0，贡献量大小决定该操作符控制的“像素”被优化设计满足的程度。

需要注意的是，对不同的操作符出现的形式不一样，有时参数会全部出现，有的只出现部分参数。

ZEMAX提供了285种操作符，作为评价函数构建所用的元素，有必要弄清楚这些操作符的物理含义，使用起来才会得心应手，自如地进行自定义评价函数。

四、ZEMAX的操作数

操作符种类的分布情况，如下表所示：

种 类	数 量
高斯光学参数	16
像差传递控制操作符	37
光学传递函数	9
圆内能量	2
透镜边界条件	50
光学面8个参数控制	24=3×8
Extra Data	3
光学材料控制	10
光线数据（近轴、实际光线）	44
光学件全局坐标控制	6
数学运算操作符	20
多重结构	5
其他（包括高斯光束、渐变折射率、用户自定义操作符、无序控制等）	59
总计	285

A）高斯光学参数

First Optical Properties代表高斯光学参数，属于基本光学特性。包括:

EFFL： Effective focal length 的缩写，指定波长号的有效焦距；

EFLX：主波长情况下，指定面范围内X面里的有效焦距；

EFLY：主波长情况下，指定面范围内Y面里的有效焦距；

对于旋转对称系统而言，EFLX和EFLY可以控制中间系统的焦距；

PIMH：指定波长的近轴像平面上的近轴像高；

POWR：标准类型面（Standard Surface）中指定面指定波长的光焦度；

PMAG：指定波长近轴垂轴放大率。仅用于有焦系统，如果存在畸变，β与应用光学中的β有差别。

AMAG：角放大率。近轴像空间与物空间的指定波长主光线焦距之比；

ENPP：以第一面为零点的入瞳位置（近轴）――无参量指定；

EXPP：以像面为零点的岀瞳位置――无参量指定；

EPDI：无参量指定的入瞳直径；

LINV：拉氏不变量，用指定波长近轴子午和主光线数据计算；

WFNO： Working F/#的简写，，其中θ`为像空间边缘光学孔径角，n`为像空间折射率――无参量指定；

ISFN：Image Space F/#的简写，表示近轴有效焦距/近轴入瞳直径――无参量指定；

SFNO：Sagittal Working F/#的简写，指定视场与波长的弧矢工作F/#；

TFNO：Tangential Working F/#的简写，指定视场和主波长的子午工作F/#；

OBSN：Object Space Numerical Aperture的缩写，针对轴上点的主波长计算物空间的数值孔径。

B)像差控制操作符

SPHA：由指定面贡献的球差值，单位：波长。指定Surf与Wave；如果Surf＝0，则指整个系统的球差总和。因没有指定Px，Py，故只为初级球差。

COMA：指定面贡献的慧差，单位：波长。指定Surf与Wave；如果Surf＝0，则指整个系统的慧差总和。没有指定孔径（Px，Py）与视场（Hx，Hy），因此仍为三级慧差（属塞德像差）。

ASTI：三级像散，指定面贡献的像差，单位：波长。

FCGS：指定视场和波长的归一化弧矢场曲；

FCGT：指定视场和波长的归一化子午场曲；

FCUR：指定光学面贡献的场曲，单位：波长；指定Surf与Wave；如果Surf＝0，则指像面上的慧差，三级慧差，属塞德像差。

DIST：指定光学面贡献的畸变，单位：波长；三级畸变，属塞德像差。

DIMX：指定视场和波长的最大畸变。如果视场号为0，则指最大视场对非旋转对称系统无效（即x，y视场要一样）。

DISC：标准畸变，用于设计fθ透镜，最大波长。

DISG：控制归一化百分畸变。指定任何视场点作为参考，（RefFld）指定波长和视场，指定孔径（光瞳）。

AXCL：控制近轴轴向色差，单位：长度单位，无参数指定；

LACL：控制垂轴色差。无指定参数，指初级像差；

以主光线为参照的垂轴几何像差：

TRAR：径向尺寸，指定波长孔径（Px, Py）视场（Hx, Hy）；

TRAD：TRAR的x分量，指定波长孔径（Px, Py）视场（Hx, Hy）；

TRAE：TRAR的y分量，指定波长孔径（Px, Py）视场（Hx, Hy）；

TRAI：垂轴几何像差半径，指定面号、波长、孔径和视场；

TRAX：X面（弧矢面）内的垂轴几何像差；指定面号、波长、（Px, Py）和（Hx, Hy）；

TRAY：Y面（子午面）内的垂轴几何像差；指定面号、波长、（Px, Py）和（Hx, Hy）；

以质心为参照的垂轴几何像差：

TRCX：垂轴几何像差的X分量，指定面号、波长、（Px, Py）和（Hx, Hy）；

TRCY：垂轴几何像差的Y分量，指定面号、波长、（Px, Py）和（Hx, Hy）；

TRAC：像面上的弥散圆半径；建议用户在Merit Function的“Default Merit Function”中使用，不要单独使用；

波像差控制操作符：

OPDC：以主光线为参照的波像差，单位：波长；指定波长、孔径和视场；

OPDM：以Mean为参照的光程差，指定波长、孔径和视场；

OPDX：光程差，以质心为参照系；

其余项不太常用，就不多做介绍了。

C）光学传递函数操作符

衍射传递函数：

MTFA：指定采样密度、波长、视场和空间频率的平均衍射调制传递函数（子午和弧矢的平均）；

MTFT：子午调制传递函数（衍射）；

MTFS：弧矢调制传递函数；

MTFA、MTFT、MTFS操作符需指定的指定参数：

     采样密度：1――32×32，2――64×64，……

     波长： 0――多色，1――波长1， ……

     视场： 有效视场编号；

     空间频率：  单位： 1/mm；

几何传递函数：

GMTA： 平均几何调制传递函数；

GMTS： 弧矢几何调制传递函数；

GMTT： 子午几何调制传递函数；

方波调制传递函数：

MSWA： 平均方波调制传递函数；

MSWT： 子午方波调制传递函数；

MSWS： 弧矢方波调制传递函数；

注意：传函优化速度慢，一开始先应用RMS Wavefront或Spot评价函数优化，使像质较好后，如需提高传函，则再用传函优化；

Wavefront很大如大于2λ以上时，衍射传函计算出错，此时可用几何传函查看传递函数情况；如像质很好，可计算或优化衍射传函；

几何传函计算时间长于衍射传函。

D）透镜边界条件

控制玻璃厚度与空气间隔以及边缘厚度：

在下列符号中，第三个字母为“E”的控制符只适用于旋转对称系统，其余均可用于旋转与非对称系统，需要指定光学面范围。

MNCG：最小玻璃中心厚度；

MXCG：最大玻璃中心厚度；

MXEG：最大玻璃边缘厚度；

MNEG：最小玻璃边缘厚度；

MXCA：最大空气中心厚度；

MNCA：最小空气中心厚度；

MXEA：最大空气边缘厚度；

MNEA：最小空气边缘厚度；

以下控制符既适合于控制玻璃，也适合于控制空气间隔。

MXET：最大边缘厚度；

MNCT：最小中心厚度；

MNET：最小边缘厚度；

MXCT：最大中心厚度；

下列符号适用于非旋转对称系统。通过检查周长上许多点，看边缘厚度是否超标，需要指定光学面范围。

XNEG：最小玻璃边缘厚度；

XNEA：最小空气边缘厚度；

XXEG：最大玻璃边缘厚度；

XXEA：最大空气边缘厚度；

XNET：最小边缘厚度；

XXET：最大边缘厚度；

单个光学面的控制符：

CTLT：中心厚度小于；

CTGT：中心厚度大于；

CTVA：中心厚度值；

ETGT：边缘厚度大于；

ETLT：边缘厚度小于；

ETVA：边缘厚度值；

使用上述控制符，需要指定面号。

控制透镜形状，使用控制符时；需要指定某一光学面号。

CVVA：曲率值；

CVGT：曲率值大于；

CVLT：曲率值小于；

SVGZ：XZ平面内矢高；

COGT：Conic大于；

COLT：Conic小于；

COVA：Conic值；

SAGY：YZ平面内矢高

控制透镜口径以及口径与厚度比。

DMVA：口径值；

DMGT：口径大于；

DMLT：口径小于；

MNSD：最小半口径；

MXSD：最大半口径；

使用上述控制符时，需要指定某一光学面。

MNDT：最小直径/中心厚度之比；

MXDT：最大直径/中心厚度之比；

MNDT和MXDT需要指定First Surf，Last Surf，只有对玻璃或介质有效，对空气介质无效。

TTLT：总厚度小于；

TTGT：总厚度大于；

TTVA：总厚度值；

使用上述控制符时，需要指定Surf号与Code。其中code为0代表＋y轴，为1代表＋x轴， 为2代表－y轴，为3代表－x轴，

TTHI：指定起始面（First Surf）到最后一个面（Last Surf）之间的光轴厚度总和；该控制符适用于控制光学系统的实际长度；

TOTR：从第一面到像面，称为系统总长或光学筒长，无指定参数；

E）光学材料控制操作符

MNIN：最小d光折射率；

MNAB：最小阿贝色散系数（Vd）；

MNPD：最小部分色散（ΔPgF）；

MXIN：最大d光折射率；

MXAB：最大阿贝色散系数（Vd）；

MXPD：最大部分色散（ΔPgF）；

这里的6个操作符可用于需要将玻璃材料作为变量优化的场合，控制玻璃的折射率、色散系数符合常见玻璃的变化范围；其中阿贝色散系数与部分色散系数的定义分别为，

F）数学运算操作符

ABSO：某一操作符结果的绝对值；

SUMN：两个操作符结果的和；

OSUM：指定面操作符之间所有操作符之和；

DIFF：两个操作符结果的差；

PROD：两个操作符结果的积；

DIVI：两个操作符结果的商；

SQRT：操作符结果的平方根；

OPGT：操作符结果大于；

OPLT：操作符结果小于；

CONS：定义一个常数；

QSUM：Quadratic Sum平方和再开方；

EQUA：几个操作符跟目标值产生相同的差值；

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