点列图

1. 点列图概述

（1）点列图的定义

按照几何光学的观点，由一个物点发出的所有光线通过一个理想光学系统以后，将会聚在像面上一点，这就是这个物点的像点。而对于实际的光学系统，由于存在像差，一个物点发出的所有光线通过这个光学系统以后，其与像面交点不再是一个点，而是形成一个散开的图形，称为点列图或弥散斑图（Spot Diagrams）。

（2）点列图的意义

首先，点列图需要确定的问题是计算多少抽样光线，通常可以以参考光线作为中心，在径向方向等间距的圆周上均匀抽取光线。

参考光线就是以此光线作为起始点，即零像差点。参考光线可以选取主光线，也可以选取抽样光线分布的中心，或者取x和y方向最大像差的平均点。

显然追迹光线越多，越能精确反映像面上的光强分布，结果越接近实际情况，点列图的计算就越精确，当然计算的时间也越多。

点列图中的点的分布可以近似地代表像点的能量分布，利用这些点的密集程度能够衡量系统成像质量的好坏。

根据点列图分布图形的形状也可以判断和了解系统的各种几何像差的影响，如是否有明显像散或彗差特征，几种色斑的分开程度如何等。

（3）点列图的适用范围：

点列图适合用于大像差系统及未校正像差时的像质评价。

ZEMAX可以在点列图中显示出艾里斑（Airy Disk）的大小，艾里斑的半径等于1.22λF。

如果点列图的半径接近或小于艾利斑半径，则系统接近或已达到衍射极限，此时采用波像差或光学传递函数来表示系统成像质量更为合适。

（4）GEO RADIUS与RMS RADIUS

点列图的分布密集状态可以用两个量来表示，一个是几何最大半径值（GEO RADIUS），另一个是均方根半径值（RMS RADIUS）。

几何最大半径值（GEO RADIUS）：参考光线点到最远光线交点的距离，即是以参考光线点为中心，包含所有光线的最大圆的半径。很显然，几何最大半径值只是反映像差的最大值，并不能真实反映光能的集中程度。

均方根半径值（RMS RADIUS）是每条光线交点与参考光线点的距离的平方，除以光线条数后再开方。均方根半径值反映了光能的集中程度，更能反映系统的成像质量。

在点列图中，ZEMAX不能画出被拦住的光线，它们也不能用来计算RMS或GEO点尺寸。

2. 点列图的分析

根据点列图的形状可以判断和了解系统的各种几何像差的影响。

（1）离焦（defocus）

离焦严格意义上不算像差，但它对成像却有影响。如果接收面不在高斯像面上，点物体的像将是一个有限尺寸的模糊点，这将导致分辨率下降，以及细节丢失。离近轴像面越远，模糊点就越大，分辨率也就越低。

图1：离焦的点列图

图1中，假设透镜不产生像差，光线就会完美会聚于近轴像面（也称高斯像面）上，且仅会聚于近轴焦点上。上部是子午面光线分布，下部是不同位置对应的点列图。标为c的平面是近轴像面，所有光线都交于一点，点列图是一个点。焦点两侧等距平面处点列图对称，离近轴像面越远，点列图就越大。这些离焦面的光线分布与入瞳处的光线分布成正比。

（2）球差

光线经过透镜产生球差，与离焦不同的是，球差使光线不全交于近轴焦点，因此对于球差而言，不同环带（孔径）的光线会聚于光轴的不同点。球差是和孔径相关的像差。

图2：球差的点列图

图2中，上部是子午面光线分布，下部是不同位置对应的点列图。和离焦不一样的是，这些球差的点列图不和入瞳处光线分布成正比。每个点列图都是独特的，在近轴像面两侧等距处，点列图也不对称。近轴焦点不是一个像点，而是一个有限大的模糊圆，最小模糊圆在c平面，轴上该点的分辨率最高。

（3）彗差

以与光轴倾斜的平行光作为入射光，若系统没有任何像差，所有光线将会聚于高斯像面上同一焦点，此焦点与光轴的偏移取决于主光线与像面的焦点。

若系统只有彗差，边缘光线（+1和-1）会聚于高斯像面上，但是与主光线交点偏离最大。光线（+0.33和-0.33）也会聚于高斯像面，但是比较接近主光线的交点。因此，彗差是一种和视场及孔径都有关的垂轴（横向）像差。其危害是轴外点成为彗状的弥散斑，破坏了轴外视场的成像清晰度。彗差与孔阑位置有关，还与透镜的形状密切相关。

图3：彗差的点列图

图3中，上部是子午面光线分布，下部是不同位置对应的点列图。近轴像面c的点列图，显示为类似彗星一样的形状，与球差不同的是，来自同一孔径的光线不会聚于同一点，因此，不同孔径的光线在高斯像面处，形成不连续的环，环半径随着孔径增加而变大。环中心与主光线交点的偏移，随着孔径增加也变大，彗状就这样形成了。

（4）像散

若系统只有像散，像散由子午面和弧矢面的主光线焦距不同引起的。像散与孔径无光，只和视场相关。

大视场光学系统不管相对孔径多小都必须考虑像散的校正，像散的校正是使某一视场（一般是0.7视场）的像散值为零，而其他视场仍有一定的剩余像差。

图4：像散的点列图

图4中，上部是像散的立体图，下部是不同位置对应的点列图。两侧的椭圆状逐渐变成线状，在中心形成圆形模糊斑。图中的离焦面c就是所谓的平均像面（Medial Focus）。

（5）场曲和畸变

图5：子午场曲图

图5是子午场曲图。随着视场角增加，沿主光线的子午焦点到近轴像面的偏移也随之增大，这样就产生像面的弯曲。近轴像面上的点列图，随着高度增加，点列图也随之变大。

球面光学系统存在场曲是球面本身决定的，即便没有像散，仍会存在场曲。

图6：子午畸变图

图6是子午畸变图。近轴像面上形成一个清晰像。近轴像面上，与高度相关的点列图，是一个实心点，然而，这些点与理想像点有一径向偏移。这偏移量与视场角有关。

3. 由点列图计算高斯型弥散斑的半峰全宽（FWHM）、分辨率和MTF

(1) 弥散斑的RMS半径

图7：双高斯物镜的点列图

点列图使用光线追迹的方法得到的，一般不等于PSF。但是，在大像差系统，。点列图主要由几何像差决定，此时，点列图和PSF有很好的相关性。

图7是一个双高斯物镜的点列图，在0视场，弥散斑；具有轴对称性，ε=SPT0=8.035um，艾里斑半径rAiry为1.788um，rAiry远小于SPT0。

设弥散斑光强分布函数可以用高斯分布来近似，如下式：

该函数的0视场弥散斑的RMS半径ε可以用积分算出：

代入ε=SPT0=8.035um=0.008035mm，可以求得

(2) 弥散斑的半峰全宽

高斯函数的半峰全宽（FWHM）为

由此得到

(3) 弥散斑的分辨率

两个高斯函数相距FWHM时恰能分辨，2ε或FWHM相当于图像的最小分辨长度，得到两种分辨率的定义，如下：

两种定义差别不大。

(4) MTF

在大像差光学系统，由SPT近似计算光学传递函数。

在轴对称的情况下，OTF为PSF的傅里叶-贝塞尔变换：

根据上式，并作归一化处理，可以近似由SPT得到MTF，如图8所示。

图8：由SPT近似得到MTF

对比由ZEMAX生成的MTF，如图9所示。

图9：ZEMAX生成的MTF（0视场）

对比图8和图9，二者的形状和变化趋势大致相同，低频和中频很接近，主要差异在于高频。

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