阿贝正弦条件以恩斯特·阿贝（Ernst Abbe）的名字命名，是光学中的一项基本原理，用于描述物空间与像空间之间实现无畸变光瞳映射所需满足的条件。该条件最初是为了促进显微镜设计而提出的；后来，光学设计人员又用它来校正随视场线性变化的像差，也就是彗差，而无需追迹大量光线。虽然在现代计算环境下，这种减少光线追迹数量的优势已经不像过去那样重要，但阿贝正弦条件仍然是一个强有力的工具，可帮助设计人员快速理解整个视场范围内的成像性能。
一、恩斯特·阿贝：光学与社会改革的先驱
在讨论阿贝正弦条件所带来的洞见之前，作者首先想介绍阿贝生平中的几个方面。阿贝于 1840 年出生于德国艾森纳赫（Eisenach）。他的光学生涯恰逢现代光学工业的萌芽阶段。当时工业革命正在深刻改变社会，而阿贝认为，工业不仅应关注其所生产的成果，也应关心参与生产的劳动者。为此，他倡导了一系列具有开创性的社会改革，包括八小时工作制、带薪休假、退休福利和遣散补偿，以及招聘中的平等措施。他的许多思想在当时都具有革命性 [1]。对阿贝这一方面生平感兴趣的读者，可以阅读 H. Volkmann 所著的《Ernst Abbe and His Work》。
二、光学领域的远见者
恩斯特·阿贝对光学领域的贡献同样值得称道。他的名字与若干至今仍影响光学科学的关键概念和方程密切相关。他的重要贡献包括：
阿贝图
阿贝数
衍射极限方程（Helmholtz 也曾给出推导）
阿贝误差
阿贝棱镜
阿贝折射仪
阿贝聚光镜
数值孔径
阿贝正弦条件
以阿贝命名的阿贝图，是理解光学玻璃性质的基本工具，它通过折射率和阿贝数来表征玻璃材料。阿贝还在数值孔径这一概念的发展中发挥了重要作用；数值孔径是光学系统中的关键参数。阿贝的工作为提高显微镜性能奠定了基础。即便在今天，他的许多著作仍然很有吸引力，展现出他以高度易懂的方式传达复杂思想的能力。
三、阿贝正弦条件的基础
从数学上讲，阿贝正弦条件 [2] 要求：对光瞳中所有孔径分区而言，物空间与像空间中光线角对应的数值孔径之比保持恒定；这个常数等于放大率。在不存在球差的情况下，无论是有限共轭系统还是无限远共轭系统，都可以用放大率来理解这一条件。
图 1：在不存在球差时，满足阿贝正弦条件且放大率为 1 的系统中光线束的可视化。注意，U 和 U* 分别表示物空间和像空间中光瞳任意分区的光线角。阿贝正弦条件中的光线角并不限于全孔径处的边缘光线。
如果阿贝正弦条件不满足，那么有限共轭系统的放大率会随光瞳分区不同而变化。如果物体位于无限远处，那么系统的焦距会随光瞳分区不同而变化。无论是哪种情况，都会导致光瞳不同分区形成不同尺寸的像。稍作思考，光学设计人员就会认识到，这一条件等价于彗差的存在。
如果阿贝正弦条件满足，那么放大率，或者对于无限远共轭系统而言的焦距，将在整个光瞳范围内保持恒定，并且包括近轴区域。换言之，放大率或焦距会收敛到近轴值。这就得到阿贝正弦条件的传统表达式：
sin U/sin U*=sin u/sin u*=m
其中， U,U*是任意光瞳带的物方和像方光线角， u,u*是近轴光线角， m表示横向放大率。具体符号方向和倒数形式可能随作者采用的放大率定义而变化，但核心要求是“全光瞳各区的正弦孔径映射比例为常数”。
通过观察可知，角度的正弦与数值孔径成正比。因此，从本质上讲，阿贝正弦条件讨论的是等效数值孔径的光线束如何相互映射。由此可见，阿贝正弦条件是系统能量映射的一种性质，而不仅仅是传统光线光学中的性质 [3]。理解阿贝正弦条件的好处在于，它使设计人员可以通过观察角度差异来估计光学系统中的彗差，并以最小的工作量进一步确定彗差。
四、阿贝正弦条件的含义
阿贝正弦条件的一个含义是：如果一个光学系统校正良好，并且工作范围超出了近轴区域，那么对于满足该条件的系统，其主“平面”将变为球面，而不是平面。（注：当主平面的概念被推广到近轴范围之外时，它可理解为等效折射点的轨迹。）为简化说明，图 2 给出了两个物体位于无限远处的理想化系统。
在图 2a 中，每条光线都从物空间向前传播，并映射到一个球形的后主“面”上。该映射表明，像空间中的等效出射角由光线高度和后焦点所决定的正弦关系给出。更具体地说，图 2a 将光线高度的微小变化映射为光线角正弦值的微小变化，因此该系统满足阿贝正弦条件。
在图 2a 中，每条光线都从物空间向前传播，并映射到一个球形的后主“面”上。该映射表明，像空间中的等效出射角由光线高度和后焦点所决定的正弦关系给出。更具体地说，图 2a 将光线高度的微小变化映射为光线角正弦值的微小变化，因此该系统满足阿贝正弦条件。
图 2：等间距的物空间光线被映射到一个后主“面”上，该后主“面”分别为：(a) 球面；(b) 平面。情形 (a) 满足阿贝正弦条件；情形 (b) 不满足阿贝正弦条件。
当然，在主平面概念原本适用的近轴区域中，正弦、正切和弧度角近似相等，主平面也近似为平面。尽管如此，这一区分仍具有实际意义。
五、阿贝正弦条件与抛物面镜
首先，让我们在阿贝正弦条件的背景下考察单个抛物面镜的光学性质。读者可能知道，抛物面镜可以把位于无限远的轴上物点成一个无像散点像，也就是说没有球差；但随着像高增大，它会很快受到彗差限制，如图 3 所示。
图 3：(a) 抛物面反射镜；(b) 轴上无像差；(c) 离轴波像差扇形图中包含彗差。
为了在阿贝正弦条件的背景下理解这种行为，我们首先注意到，等效折射轨迹，也就是抛物面镜本身，必然不是球面。因此，如果我们试图通过绘制一对满足阿贝正弦条件的光线来复现图 2a，那么这些光线必然是非物理的。由于抛物面镜与球形等效折射轨迹之间不匹配而产生不连续性，这些非物理光线如图 4 所示。
图 4：抛物面反射镜中，(a) 预期光线高度；以及抛物面实际投影得到的光线高度。图中还突出显示了 (b) 这种高度差所对应的不连续性。
六、阿贝正弦条件与单个平面光学元件
接下来考虑一个系统，其唯一具有光焦度的元件是单个平面光学元件，例如超透镜、衍射元件或菲涅耳透镜。对于这样的系统，前主平面和后主平面重合于同一个光学表面，并且必然是平面的。因此，该系统的等效折射轨迹是平面的，如图 2b 所示，所以它不可能同时满足阿贝正弦条件并实现理想成像性能。因此，设计人员必须通过常规的彗差校正方法来平衡该表面所引入的随视场线性变化的像差，也就是彗差；例如，可以通过引入球差以及移动光阑位置来实现 [4]。
为了可视化这个例子，我们可以取这样一个单个平面光学元件，并投影出为了满足阿贝正弦条件所必需的光线，如图 5 所示。这些光线路径显然是非物理的：物空间和像空间的光线高度之间存在很大的不连续性。像空间角度由正弦关系以及像空间高度所驱动，而不是由正切关系所驱动。
图 5：一个平面光学表面的示例。图中显示了从无限远共轭物空间映射到像空间焦点、并且为了满足阿贝正弦条件所必需的光线。
七、阿贝正弦条件与平凸透镜
最后，我们把一个经常在球差背景下向光学学生提出的问题加以推广：平凸透镜应该如何放置？如果有光焦度的表面只是一个球面，并且目标是改善轴上性能，那么正如光学学生所学到的，图 6 左侧所示的“曲面朝前”放置方式是正确的。
但是，如果球差已经被校正，例如通过把有光焦度的表面制作为非球面来校正，并且目标是改善整个视场的性能，那么曲面朝前的取向是否仍然更优？答案是：仍然更优。原因在于，这种取向更接近满足阿贝正弦条件，因此能够最小化彗差。对于曲面朝后的透镜而言，其后侧等效折射轨迹是一个符号与阿贝正弦条件所期望方向相反的球面，因此会产生显著更大的彗差。
图 6：如何放置单片平凸透镜。两种透镜都通过优化曲面上的圆锥常数来校正球差。阿贝正弦条件表明，将圆锥面放在前表面的设计会具有更小的彗差。
八、结论
阿贝正弦条件是光学领域中的一项基本指导原则，它揭示了光学系统设计的一些基础原理。从抛物面镜，到单个平面有光焦度元件，再到平凸透镜，阿贝正弦条件在我们理解光学像差方面发挥着关键作用。如果单个光学表面或元件违反了阿贝正弦条件，光学设计人员可以在系统的其他位置校正其产生的彗差，从而使整个系统仍然服从阿贝正弦条件。
阿贝正弦条件是一项适用于所有光学系统的基本原理，即便系统采用了非常规光学元件也同样适用。它并不限于光线光学。通过认识阿贝正弦条件的限制和要求，光学设计人员可以作出更有根据的选择，并优化光学系统，以获得更优性能和更小像差。
九、参考文献
[1] Volkmann, H., “Ernst Abbe and his work.” Applied Optics 5.11 (1966): 1720–1731.
[2] Abbe, E., “Beitrage zur Theorie des Mikroskops und der mikroskopischen Wahrnehmung,” Arch. fuer mikroskopische Anat. 9, 413–468 (1873).
[3] Mansuripur, M., “Abbe's sine condition,” Opt. Photon. News 9(2), 56–60 (1998).
[4] Braat, J. J. M., “The Abbe sine condition and related imaging conditions in geometrical optics,” Proc. SPIE 3190, 59–64 (1997).
十、相关文献：
此文转载于公众号：逐光光学
《阿贝判据（Abbe Criterion）——光学显微镜的衍射极限》
《纪念阿贝公式[d=λ/(2n*sinα)]提出150周年》
作者QQ及微信：49922779 
